Теперь мы имеем возможность провести различие между разными видами колебаний. Прежде всего мы начнем с рассмотрения так называемых "вынужденных колебаний", возникающих в колебательной системе, когда она подвержена действию переменной силы. Существенной особенностью такого возбуждения является то, что оно остается неизменным независимо от того, вибрирует или не вибрирует механическая система, к которой это возбуждение приложено.

§ 3.1. РЕЗОНАНС

Рассмотрим синусоидальную переменную силу с некоторой определенной частотой. Если эта сила приложена к механической системе, то система будет колебаться по синусоидальному закону с той же частотой. Совпадение частот изменения силы с частотой колебательного процесса характерно для вынужденных колебаний.

Колебательное движение, которое мы рассматривали в конце первой главы, тоже является примером вынужденных колебаний. Переменная сила плавучести, действующая на небольшой корабль, и неуравновешенная сила короткого ротора также вызывают колебания с частотой, равной частоте возбуждения. Почему же следует особо выделять "качку"? * Дело в том, что вынуждающая сила вызывает при "качке" значительные перемещения, когда ее частота существенно ниже частоты свободных колебаний системы, которые сопровождаются деформациями.

* Слово "качка" (shaking) выше было употреблено в следующем смысле. Судно, поршневой двигатель и ротор (см. § 1.6) колебались с частотой, меньшей первой отличной от нуля собственной частоты. В этом случае имело место движение тела как твердого (целого), т. е. в основном по формам колебаний, не связанным с деформированием.

Если поддерживаются колебания с собственной частотой, то они оказываются особенно значительными. Если частота вынуждающей силы равна, или почти равна, собственной частоте системы, то следует ожидать интенсивных колебаний, связанных с резонансом. Отличие вынужденных колебаний, о которых упоминалось выше (в гл. 1), от вынужденных резонансных колебаний определяется отношением частоты возбуждения к низшей собственной частоте системы.
 

Установка, показанная на фото XI, представляет собой простую конструкцию из соединенных между собой металлических стержней, образующих модель рамного строительного каркаса. Небольшой электродвигатель, установленный на этой модели, вращает диск, несущий неуравновешенную массу. Если постепенно увеличивать угловую скорость электродвигателя, то будут возникать последовательно резонансы первой, второй, третьей... форм колебаний. Это может быть легко продемонстрировано проектированием тени каркаса на экран; каждый резонанс сопровождается размыванием тени от соответствующей части каркаса. С точки зрения строительной техники эта конструкция чрезвычайно проста, однако даже для такой конструкции расчет собственных частот и основных форм весьма трудоемок, и становится необходимым применение больших электронных вычислительных машин; в противном случае задача оказалась бы весьма громоздкой.

Пока скорость двигателя мала, каркас совершает слабые вынужденные колебания. Но когда частота возбуждения становится близкой к собственной частоте, появляется возможность возникновения резонанса. Именно в этом и состоит характерная черта такого вида движения.

Чтобы достичь практического совпадения собственной частоты системы с частотой возбуждения, мы постепенно изменяем последнюю. Однако резонанс был бы возможен и при изменении собственной частоты, хотя это потребовало бы некоторого изменения самой системы; это можно продемонстрировать с помощью колеблющегося камертона, установленного над открытым концом длинной тонкой трубки, частично заполненной водой. В этом опыте колеблется воздушный столб над поверхностью воды и соответствующим подбором уровня воды в трубке можно достичь совпадения собственной частоты с частотой возбуждения - т. е. частотой колебаний камертона. При совпадении частот звук камертона значительно усиливается. Ниже мы увидим, как иногда пользуются этим способом достижения резонанса.

Вынужденные колебания могут возникать в самых разнообразных условиях. Напремер, вибрации кормовой части судна вызываются гидродинамическими силами, которые возникают, когда лопасти гребного винта проходят вблизи обшивки корабля.

Совершенно иной источник возбуждения имеет место в ковшовой турбине. Такая турбина представляет собой хорошо сконструированное водяное колесо с ковшами определенной формы, расположенными по ее ободу; струя воды в направлении касательной к ободу турбины (обычно с очень большой скоростью) воздействует па турбину и приводит ее во вращение, причем каждый ковш испытывает периодические удары. Если частота ударов струй или частота какой-либо из составляющих этой далеко не синусоидальной силы совпадает с собственной частотой ковша, то могут возникнуть интенсивные вибрации, грозящие разрушением. Один или два раза такие случаи имели место в действительности.

Резонансные колебания являются одной из причин поломки лопаток турбомашин, где в установившемся режиме движения каждая лопатка проходит какое-нибудь определенное положение через точно установленные промежутки времени. Если, например, лопасть гидротурбины получает повторяющиеся через определенные интервалы времени импульсы, то в результате резонанса лопасть может сломаться.

Вынужденные колебания имеют заметную амплитуду обычно только вблизи резонанса. Это обстоятельство может быть весьма полезным. На фото XII показан пассажирский самолет VC-10 в процессе резонансных испытаний. К соответствующим точкам самолета присоединены вибраторы, частота колебаний которых плавно изменяется. Когда частота колебаний вибратора оказывается равной собственной частоте, наступает резонанс и становятся заметными вибрации исследуемых частей самолета. Поэтому в резонансном режиме частота вибратора (известная) равна собственной частоте и, измеряя перемещения различных точек конструкции, можно определить соответствующую форму колебаний. Испытания самолета VС-10 проводились в диапазоне частот от 0 до 100 Гц;
при этом в диапазоне частот от 0 до 25 Гц было обнаружить около 30 собственных форм колебаний.
 

На рис. 24 приведен график, полученный по данным стендовых резонансных испытаний. По горизонтальной оси отложена частота возбуждения, а по вертикальной оси - амплитуда колебаний; каждый пик на графике соответствует совпадению частоты возбуждения с собствен-ной частотой конструкции.

Из-за разных причин случается, что проведение и анализ резонансных испытаний крайне осложняется. Поэтому результаты, представленные в виде кривой рис. 24, не всегда надежны. Одна из причин этого заключается в том, что собственные частоты самолета лежат близко друг к другу и было бы совершенно невозможно (без особых предосторожностей) возбудить одну форму колебаний независимо от других. Кроме того, распределение демпфирования в самолете таково, что колебания одной формы создают демпфирующие силы, которые стремятся возбудить другие формы. И, наконец, третье обстоятельство практического характера состоит в чрезвычайной трудоемкости испытаний. Так, для испытаний, приведенных на фото XII, регистрация показаний осуществлялась посредством 150 приборов, размещенных на самолете, причем эти показания записывались после каждого последовательного увеличения частоты на 5%.

Имеется много других способов использования резонанса, кроме резонансных испытаний, причем большинство таких способов значительно проще резонансных испытаний. Например, виброгрохот монтируется на пружинах, подбором которых обеспечивается его резонансное состояние.

Подводя итог сказанному выше, отметим, что переменная сила возбуждает колебания той же частоты. В случае совпадения этой частоты с собственной частотой наступает резонанс и колебания становятся интенсивными. Детальное изучение явления (особенно, если исследуемая система имеет две или более близкие собственные частоты) может оказаться весьма сложным.

§ 3.2. ГАШЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ

Мы видели, что резонансные вынужденные колебания иногда могут быть полезными, а иногда безусловно вредными. Рассмотрим раму, показанную на фото XI, и представим себе, что она является опорой какой-нибудь машины. Если строитель установит большую неуравновешенную машину на такую рамную опору, то, как мы уже видели, могут возникнуть резонансные колебания. Ясно, что если конструктор знает собственные частоты конструкции и частоту возбуждения, создаваемого машиной, то он может предвидеть возможность возникновения резонанса. Следовательно, определение собственных частот конструкций имеет важное значение. Сказанное является аргументом в пользу расчета собственных частот, но зачем нужно определять собственные формы колебаний? Ответ заключается отчасти в том, что оба расчета обычно ведутся одновременно, а отчасти в том, что интенсивность резонансных колебаний зависит от расположения источника колебаний по отношению к собственной форме колебаний.

Можно ожидать, что чем выше рассеяние энергии в. конструкции, тем менее интенсивны резонансные колебания при заданном уровне возбуждения. Демонстрационная модель, показанная на фото XI, не более чем схема конструкции, и надо полагать, что в случае реального стального строительного каркаса кирпичное заполнение весьма существенно увеличило бы демпфирование и, следовательно, уменьшило бы колебания *. Благодаря этому многие сооружения, казалось бы, находящиеся на краю катастрофы, оказываются жизнеспособными.

* Заполнение существенно изменило бы и собственные частоты.

Для гашения нежелательных резонансных колебаний существует два различных метода. Первый метод состоит в "отстройке" системы путем такого изменения собственных частот, чтобы они не совпадали с частотой возбуждения или, наоборот, путем изменения частоты возбуждения; второй метод заключается в специальном увеличении демпфирования системы (третья возможность, о которой мы будем говорить позже, состоит в том, что интенсивные колебания "переносят" в те места, где они не могут причинить повреждений). Из этих двух методов обычно наиболее эффективен первый, хотя его не всегда удается осуществить, поскольку возбуждение может иметь широкий диапазон частот, как, например, в случае автомобильного двигателя. Поэтому жизненно необходимы практические методы расчета собственных частот систем с целью правильного выбора массы и жесткости системы.

Здесь едва ли уместно поднимать чисто теоретические вопросы, но одна весьма счастливая особенность большинства систем достойна упоминания. Только очень большое демпфирование способно заметно изменить резонансные частоты по сравнению с теми значениями, которые соответствуют случаю полного отсутствия демпфирования. Но при большом демпфировании интенсивные колебания мало вероятны и поэтому на практике расчет существенных резонансных частот не отличается от расчета собственных частот системы без трения.

В тех случаях, где отстройка от резонанса невозможна, применяются демпферы. Наиболее широко известен демпфер Ланчестера, присоединяемый к коленчатым валам автомобилей. Демпфер, присоединепный к колебательной системе, конечно, изменяет ее параметры; к этому вопросу мы еще вернемся. Демпфер Ланчестера представляет собой простое устройство, вращающееся вместе с валом как жесткое тело; когда возникают крутильные колебания, он рассеивает их энергию за счет трения. Выбор точки крепления демпфера имеет большое значение, так как если его поместить в "узле", который (подобно середине аккордеона) неподвижен, то демпфер ве будет колебаться (и следовательно, не будет поглощать энергию) независимо от интенсивности колебаний самого коленчатого вала. Отсюда следует важность определения собственных форм колебаний.

§ 3.3. КИНЕМАТИЧЕСКОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ

Если точка подвеса маятника совершает колебания в горизонтальной плоскости, то маятник раскачивается с частотой, равной частоте колебаний точки подвеса. Такое возбуждение колебаний называется "кинематическим возбуждением".

Некоторые небольшие предметы, установленные на автомобиле, испытывают интенсивные колебания, вызванные даже незначительными вибрациями от двигателя, передаваемыми на корпус автомобиля. Как мы уже отмечали, таким колебаниям может быть подвержено зеркало заднего вида. Масса зеркала мала по сравнению с массой автомобиля, поэтому мало вероятно, чтобы колебания зеркала повлияли на динамику всего автомобиля; мы можем принять это утверждение в качестве рабочей гипотезы. Другими словами, можно считать, что движение точки опоры зеркала не зависит от вибраций зеркала. Это допущение носит такой же характер, как и ранее принимавшееся допущение о том, что силовое возбуждение задано и не зависит от того, возбуждаются ли колебания системы или нет.

Вынужденные колебания, которым подвержено зеркало, могут носить резонансный характер; в этом случае даже малые колебания крепления зеркала приводят к его интенсивным колебаниям. Этот резонанс весьма нежелателен; он наступает в тех случаях, когда частота собственных колебаний закрепленного на автомобиле зеркала совпадает с частотой колебаний точки его крепления.

Предположение о независимости движения точки опоры от колебаний самого тела может быть принято и в отношении измерительных приборов, регистрирующих колебания корпуса автомобиля. Однако подобное предположение несправедливо, если масса прибора, регистрирующего колебания, настолько велика, что влияет на исследуемое движение.
 

На фото XIII показан ручной прибор для измерения вибраций. Длина консольной упругой пластинки может быть изменена и, следовательно, может меняться собственная частота колебаний пластинки. Предположим, что пластинка в процессе измерений совершает интенсивные колебанпя, когда ее длина соответствует низшей собственной частоте, например, 15 Гц. Это означает, что частота колебаний обследуемой точки также равна 15 Гц. Конечно, необходимо, чтобы прибор был бы значительно меньше колебательной системы, к которой он присоединен *. В рассматриваемом примере сообственная частота колебательной системы специально настраивается на измеряемую частоту возбуждения.

* Этот прибор основан на принципе резонансного кинематического возбуждения, хотя во многих приборах резонансный редким не используется.

Кулисный механизм, изображенный на рис. 15, иллюстрирует ряд особенностей кинематического возбуждения. В § 2.4 рассматривался, случай такого возбуждения, когда две одинаковые цепи соединены с водилом кулисного механизма. При этом одна из цепей погружена в вязкую жидкость и, следовательно, демпфирована, а другая свободно висела в воздухе. Возбуждение свободных колебаний путем резонансного кинематического возбуждения цепи и его последующего резкого устранения основано на том обстоятельстве, что форма резонансных колебаний почти совпадает с собственной формой.

Конечно, на самом деле движения не являются вполне независимыми. Даже малая масса оказывает некоторое обратное воздействие на большую массу, которая возбуждает колебания первой. В действительности кинематическое возбуждение возможно, когда ни одна из масс не мала. Предположим, например, что гребной винт судна приводится в движение паровой турбиной. Скорость вращения турбины выше, чем скорость вращения гребного винта; эта разница скоростей создается посредством пары зубчатых колес, находящихся в зацеплении и установленных в корпусе редуктора. Если одно из зубчатых колес изготовлено неточно или слегка перекошено относительно вала, то при вращении системы возникнут крутильные колебания валов. Эти колебания накладываются па вращение с постоянной скоростью, обеспечивающее поступательное движение судна. Такие колебания уже рассматривались выше, и легко понять, что развитие интенсивных колебаний возможно в резонансном режиме. Именно в системах такого рода (хотя чаще на суше, чем в море) н имели место поломки, показанные на фото IV,а.

Средства устранения нежелательных резонансных явлений при кинематическом возбуждении оказываются точпо такими же, как и при силовом возбуждении; мы просто рассматриваем две точки зрения на одну и ту же проблему. Во-первых, мы можем применить расстройку частот путем изменения параметров и, во-вторых, увеличите демпфирование. Пример второго средства можно заимствовать из житейской практики: расплескивание кофе из чашки, стоящей на столе вагона поезда, является наглядным результатом кинематического возбуждения. Однако если в чашку положена ложка, то вследствие образования завихрений должна происходить существенная потеря колебательной энергии жидкости. Поэтому теоретически кофе из чашки не должно выплескиваться. Впрочем ряд тщательных лабораторных исследований, проведенных с целью подтверждения этого вывода, потерпел неудачу.

§ 3.4. ВИБРАЦИИ ВАЛОВ

Длинный тонкий вал, показанный на фото XIV, может совершать свободные поперечные колебания (подобно струне рояля) с гораздо более низкой частотой, чем короткий ротор большого диаметра, показанный на фото VII. Ротор весьма массивен и трудно себе представить, что он мог бы колебаться подобно струне. Длинный и тонкий вал невозможно изготовить абсолютно прямым; поэтому он оказывается неуравновешенным, центры тяжести его сечений не совпадают с геометрическими центрами и при вращении возникают колебания, подобные колебаниям короткого вала больщого диаметра (см. § 1.6). Но теперь с увеличением скорости вращения вала частота колебаний, обусловленных его неуравновешенностью, может приблизиться к первой собственной частоте и пройти ее.
 

Когда угловая скорость вращения и, следовательно, частота изменения сил инерции неуравновешенного вала приблизится к собственной частоте (в нашем примере - к низшей собственной частоте), наступит резонансное состояние. Другими словами, система возбуждается с частотой, которую она имеет при свободных колебаниях. Вал остро реагирует на такое совпадение и начинает сильно вибрировать. То же происходит при совпадении угловой скорости вращения вала с любой из его собственных частот. Форма, которую принимает ось вала, зависит от собственной частоты, с которой совпадает скорость вращения. Скорости вращения, совпадающие с собственными частотами вала, называются критическими скоростями; формы колебаний, соответствующие нескольким первым критическим скоростям, близки к показанным на рис. 17 *.

* Ряд критических скоростей (до дюжины и более) можно наглядно продемонстрировать, если в качестве вала использовать пружинную спираль длиной около двух метров.

На рис. 25, а показан чертеж довольно большого ротора генератора переменного тока массой 59 т. Этот генератор имеет мощность 350 МВт при частоте 50 Гц. Первые три вычисленные формы колебаний показаны на рис. 25, б.

Точный расчет опасных критических скоростей оказывается нелегким, но ответственным делом, так как при пуске турбогенератора ротор должен проходить через одну или две из них. Если наступит критическое состояние и ротор разрушится, то убытки могут составить сотни тысяч фунтов стерлингов в дополнение к угрозе человеческим жизням. В будущем электроэнергия будет вырабатываться без таких машин, - непосредственно из тепловой энергии, т. е. без механических систем с движущимися частями. Хотя до этого еще далеко, поскольку проблема экономической эффективности пока не решена, однако, когда наступит это время, отпадет одна из неприятнейших и потенциально наиболее опасных среди всех проблем вибраций.

Интенсивные колебания ротора генератора могут быть уменьшены посредством балансировки ротора. Для безопасности балансируемый ротор помещается в яму со специальным ограждением. Такая яма используется также при прочностных испытаниях ротора на действие центробежных сил (при скоростях, превышающих рабочее число оборотов). На фото XV показан ротор генератора переменного тока в балансировочной яме с тяжелой откидывающейся крышкой. Все приборы и пульт управления размещены в отдельном помещении, находящемся на некотором расстоянии от ротора.

В процессе балансировки к поверхности вала надежно крепятся небольшие уравновешивающие грузы. Величины и места расположения этих дополнительных масс определяются расчетом по данным измерений вибраций. Теоретически возможно разогнать вал почти до первой критической скорости, чтобы уравновесить его при легко осуществимых измерениях вибраций вблизи этой скорости. Далее можно плавно пройти через первую критическую скорость и достичь второй критической скорости. Соответствующая методика балансировки позволяет избежать колебаний ротора на второй критической скорости без нарушения эффективности мероприятий, обеспечивающих защиту от колебаний на первой критической скорости. Затем можно переходить к третьей скорости и т.д. Однако методы практической балансировки роторов генераторов до сих пор являются предметами активных исследований, так как проблема не настолько проста, как это может показаться с первого взгляда.

Современный крупный ротор генератора при испытаниях и балансировке (а такие испытания, проводятся при отсоединенной паровой турбине, которая должна приводить ротор в движение в процессе эксплуатации) проходит через первые четыре критические скорости и приближается к пятой. При этом можно ожидать, что балансировка позволит устранить вибрации на первой, второй, третьей и четвертой скоростях; можно также попытаться устранить те вибрации, которые будут усиливаться па пятой и шестой критических скоростях.

§ 3.5. ВИБРАЦИИ УЗЛОВ КОНСТРУКЦИЙ

Собственные формы и собствеппые частоты системы являются характеристиками ее общих свойств. Если изменить размеры маховика, укрепленного на валу, то частоты и формы колебаний всей системы, в которой маховик является лишь частью, также изменятся. Поэтому может показаться несколько странным, что представляют интерес колебательные свойства отдельно рассматриваемых частей системы.

Однако в действительности это не так странно. Рассмотрим, например, самолет, формы и частоты колебаний которого можно установить с помощью стендовых испытаний, о чем мы упоминали выше. Основной интерес представляют динамические характеристики самолета о воздухе, но испытания приходится проводить на земле. Поэтому необходимо обеспечить соответствующее опирание самолета, т.е. характеристики опор должны быть такими, чтобы не допустить существенного влияния установки на результаты испытаний. Установлено, что это требование выполняется, если самолет установлен на мягких пружинах - обычно при испытаниях понижают давление в его шинах. Самолет в воздухе, т. е. лишенный опор, можно рассматривать как часть системы, содержащей самолет и те опоры, которые имеются при резонансных испытаниях на земле.

Иногда чрезмерные резонансные колебания можно ограничить посредством дополнительных устройств, называемых "виброгасителями". Предположим, что машина испытывает чрезмерно большие, недопустимые вибрации некоторой определенной частоты, и эти колебания требуется устранить. Этого можно достичь путем таких изменений параметров системы, чтобы изменилась ее собственная частота. Можно выбрать другой вариант, заключающийся в присоединении к системе специального устройства, которое будет тем или иным образом гасить чрезмерные колебания. В этом случае первоначальную систему можно рассматривать как часть вновь образованной системы.
 

Идея поглотителя колебаний может быть очень наглядно проиллюстрирована с помощью установки, показанной на фото XVI. Электродвигатель А вращает неуравновешенный кривошип В, который возбуждает колебания детали С. Колебания этой детали, вызываемые присоединенным к ней кривошипом, создают периодические деформации двух пружин, показанных на фотографии. Тонкий стержень D с небольшим грузом на его верхнем конце представляет собой съемную часть, которая может быть закреплена в небольшом отверстии детали С. Стержень D с грузом и является гасителем колебаний. Если стержень с грузом отсутствует, то колебания детали С очень хорошо заметны. Но если стержень D присоединен к детали С, как это показано на фотографии, то деталь остается почти неподвижной, в то время как стержень интенсивно колеблется. Здесь предполагается вполне определенная скорость вращения двигателя, и положение груза D выбрано таким образом, чтобы "гаситель" работал в режиме резонанса. Следовательно, "настроенный" таким образом гаситель эффективен только на одной частоте.

Пожалуй, теперь гасители колебаний применяют не так широко как прежде. Иногда их присоединяют к коленчатым валам двигателей внутреннего сгорания. Интересный пример применения гасителей относится к звездообразным авиационным двигателям времен второй мировой войны. Эти гасители выполнялись в виде массивных роликов, имевших возможность перемещаться в кольцевых пазах, на конце коленчатого вала. Значительные перемещения роликов в своих пазах не опасны, напротив, эти перемещения дают весьма желательный эффект, поскольку колебания коленчатого вала уменьшаются. Гасители колебаний применяются в некоторых типах стиральных машин для уменьшения колебаний всей машины; они используются также в электрических машинках для стрижки волос с целью предотвращения чрезмерных вибраций, передаваемых на руку парикмахера.
 

На фото XVII показана линия электропередачи; здесь можно видеть небольшие подвески в форме гантели, которые установлены на каждой линии, на расстоянии немного большем метра по обе стороны от опорных изоляторов. Это устройство называется поглотителем колебаний Стокбриджа, и по назначению аналогично демпферу Ланчестера, устанавливаемому на коленчатых валах. Такой поглотитель увеличивает рассеяние энергии при колебаниях линий. Как мы увидим ниже, ветер может возбуждать колебания линий с небольшой амплитудой и довольно высокой частотой. Эти колебания совершенно отличны от колебаний линии над рекой Северн (см. фото IX) и возникали бы гораздо чаще, если бы не поглотители, которые гасят колебания линий у их концов; поглотители закрепляются на опорных изоляторах в точках максимума натяжения. Вынужденные колебания этих небольших дешевых демпферов неопасны. Таким образом, здесь мы снова имеем дело со случаем, когда система усложняется для изменения ее колебательных свойств.

Теперь мы начинаем понимать, что собственные частоты и формы колебаний имеют огромное значение в технике. Поэтому еще раз бегло вернемся к этим понятиям, помня, что собственные частоты и формы колебаний определяют в предположении, что демпфирование отсутствует. При свободных колебаниях системы без трения любая данная ее часть совершает вынужденные колебания, хотя ко всей системе возбуждение не приложено. Возбуждение колебаний части системы поддерживается теми другими частями системы, от которых мысленно отделена данная часть. Другими словами, рассмотрение всей системы, совершающей свободные колебания, как совокупности отдельных ее частой, тесно связано с поведением этих частей при вынужденных колебаниях.

Авиационный поршневой двигатель эффективно работает только при достаточно высоких скоростях, тогда как воздушный винт, который приводится во вращение от этого двигателя, эффективен при относительно низких скоростях. Поэтому между винтом и двигателем устанавливается редуктор. Система, состоящая из авиационного двигателя, редуктора и винта, может быть подвержена крутильным колебаниям. С этим обостоятельством считались в те времена, когда в качестве привода применялись поршневые двигатели. Собственные частоты этой системы должны определяться расчетом, а расчеты, естественно, невыполнимы, пока характеристики всей системы недостаточно известны. Представляя систему разделенной на две части - винт и двигатель с редуктором, - изготовители этих элементов могли выполнять независимые расчеты вынужденных колебаний. После этого можно определить собственные частоты и формы колебаний всей системы в целом. В отдельных случаях может оказаться более удобным определить одну часть характеристик расчетом и экспериментально определить другую.

Значение идеи о разделении сложной системы на отдельные элементы при анализе колебаний вряд ли можно переоценить. Вернемся на время к ковшовой турбине. Каждый ковш турбины получает периодические удары от струи воды, и поэтому может потребоваться определении его низшей собственной частоты. Каждый ковш надежно крепится болтами к несущему колесу, и становится заманчивым принять предположение о том, что ковш "жестко" соединен с колесом, и воспользоваться им для расчета собственных частот. Однако мы уже знаем, что при некоторых частотах колесо вовсе не является жестким и само может совершать свободные колебания.

Прежде чем производить какие-либо расчеты системы, необходимо четко определить систему, а также сформулировать условия на границе между системой и окружающей ее средой. В то время как формулировка граничных условий проста для тела, совершающего колебания в пустоте, она может оказаться в действительности трудной для тел, совершающих колебания в других средах, даже в воздухе. Уже по одной этой причине инженеры должны думать не только о вынужденных колебаниях всех систем, но также и о вынужденных колебаниях элементов этих систем.

§ 3.6. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ВОЗБУЖДЕНИЯ

В этой главе мы обычно подразумевали, что переменное возмущение, "возбуждение", изменяется по закону синуса. Хотя такое допущение часто близко к действительности, оно не всегда приемлемо. Возбуждение может быть периодически повторяющимся, но не синусоидальным (как в случае возбуждения ковша в ковшовой турбине), либо вообще иметь нерегулярный характер. Здесь мы рассмотрим первый из этих возможных случаев.

Прежде чем исследовать проблему регулярно повторяющегося (т.е. периодического) несинусоидального возбуждения, следует указать еще на один объект, в котором оно возникает. Этот объект настолько широко используется, что нет смысла подчеркивать важность задачи.

На рис. 26 показана схема механизма двигателя внутреннего сгорания. Кривошип А может вращаться так, как показано на чертеже. Посредством шарнира он соединен с шатуном В, который в свою очередь соединен с поршнем С, При вращении кривошипа А поршень перемещается внутри цилиндра D из одного крайнего положения в другое. Из сказанного ясно, что постоянная скорость вращения кривошипа будет определять постоянную частоту колебаний поршня. Другими словами, колебания поршня, безусловно, будут периодическими. Однако эти колебания не будут синусоидальными. Даже для механизмов, у которых отношение длины шатуна В к длине кривошипа А достаточно велико, форма графика пермещений поршня С будет лишь приближаться к форме синусоиды. Отсюда следует, что любая сила, которая связана с движением поршня (такой силой является сила инерции или сила давления поршня на поршневой палец, удерживающий поршень на шатуне), также будет периодической, но не синусоидальной. Как мы увидим в гл. VI, в повседневной жизни встречается много других примеров переменных сил такого вида.

Периодическое возбуждение более общего вида не требует привлечения принципиально новых идей, по приводит лишь к некоторым вычислительным усложнениям. В §1.3 было показано, что периодическая несинусоидальная функция может быть представлена в виде суммы синусоид (гармоник), каждая из которых имеет свою частоту и амплитуду. Это также относится к рассматриваемому здесь периодическому возбуждению; его можно рассматривать как возбуждение от нескольких синусоидальных сил, действующих одновременно, причем некоторые из них могут приводить к резонансным состояниям.

Интересные следствия вытекают из возможности проявления так называемого "избирательного резонанса". Так, закон колебаний системы может совершенно отличаться от закона возбуждения этих колебаний. Рассмотрим, например, кривую на рис. 27, а и будем считать, что она представляет переменную силу. Несимметричная форма графика этой силы достаточно точно воспроизводится суммой трех синусоидальных составляющих, как показано на рис. 27, б. Каждая из таких составляющих вызывает свои вынужденцые колебания, которые могут иметь различные амплитуды (см. рис. 27, б). Можно видеть, что колебания, соответствующие средней частоте, близки к условию резонанса. Но если сложить ординаты всех трех кривых, показанных на рис. 27, б, то мы получим периодическую кривую (рис. 27, г) описывающую общее движение системы. При этом форма полученной кривой имеет малое сходство с соответствующей кривой возбуждения.

В действительности ситуация даже более сложна, чем описано выше, поскольку теоретически любая из составляющих возбуждения может привести систему к резонансу любой формы; в самом деле, нет основания сомневаться в том, что две или более гармоник возбуждения могут привести систему к резонансу с различными формами. Это может быть продемонстрировано с помощью установки, показанной на фото XVIII. Электродвигатель А вращает кулачок В, который поочередно периодически замыкает контакты переключателя. В момент замыкания контактов конец велосипедной цепи С перескакивает с одного электромагнита D на другой. При этом конец цепи подвергается кинематическому возбуждению "прямоугольной формы" с частотой, определяемой угловой скоростью электродвигателя. Такое возбуждение содержит гармоники, частота которых в 3,5,... и т. д. раз больше основной частоты, как мы видели на рис. 5. Если медленно изменять угловую скорость электродвигателя, то можно получить форму колебаний цепи, подобную рис. 16, б, с частотой в три раза большей частоты переключения контактов. Другими словами, та гармоника возбуждения, частота которой в три раза выше основной частоты возбуждения, может возбудить вторую форму резонансных колебаний цепи.

§ 3.7. СЛУЧАЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Если измерять давление в какой-либо точке турбулентного потока газа (например, в теплообменнике), то окажется, что оно изменяется во времени весьма нерегулярным образом (см. типичную кривую, изображенную на рис. 28, а) ', подобная кривая получается также при изображении профиля неровной дороги. Случайные колебания (флуктуации) давления могут вызвать колебания элементов конструкции, например трубки теплообменника, а неровность дорог служит одним из источников кинематического возбуждения колебаний автомобилей. При изучении такого рода движений (а они являются весьма распространенными) обычно трактуют колебания как вынужденные, поскольку возбуждение не зависит от того, приводит ли оно к возникновению колебаний, или нет.

Прежде чем рассматривать колебания, вызванные такого рода возбуждением, необходимо подумать о том, как описать сам возмущающий процесс. Как правило, кривые типа изображенной на рис. 28, а с большим трудом поддаются точному определению и имеют весьма сложный, нерегулярный характер. В связи с этим возникает вопрос: какие разумные попытки должен предпринять инженер в целях снижения вибраций, вызываемых таким возбуждением? На практике при подобных расчетах пользуются методом осреднения.

Первая очевидная осредненная характеристика процесса - это его среднее значение, т.е. средняя высота кривой. Однако хотя эта характеристика и доставляет некоторую информацию о процессе, она не позволяет уловить процесс, связанный с интенсивными колебаниями относительно среднего значения. Указанный недостаток преодолевается путем использования понятия "среднего квадрата отклонения от среднего значения". Для этого средняя высота кривой процесса вычитается из значений ординат кривой; в  результате получается кривая отклонений от среднего значения. Если теперь все эти отклонения возвести в квадрат и осреднить, то получим другую важную характеристику процесса - средний квадрат отклонения; для краткости будем называть ее средним квадратом.

Вполне возможно, что кривые, изображенные на рис. 28, а и б, имеют одинаковые средние значения и одинаковые средние квадраты, но тем не менее эти кривые существенно различаются с точки зрения их "растянутости" во времени. На помощь приходит представление о "частоте" (хотя и не очевидно, что в данном случае оно является уместным). Средний квадрат можно представить как результат осреднения по составляющим процесса, имеющим все частоты, лежащие в некотором диапазоне. Это значит, что можно построить кривую (типа изображенной на рис. 29), площадь под которой равняется среднему квадрату; такая кривая называется графиком спектральной плотности процесса. Различие процессов, изображенных на рис. 28, а и б, отражается в различии их спектральных плотностей; значения спектральной плотности второго из этих процессов сосредоточены в области более низких частот.

Для описания случайного возбуждения удобно пользоваться такими характеристиками, как среднее значение и спектральная плотность. Хотя эти характеристики доставляют далеко не полную информацию о процессе, на практике даже их измерение сопряжено со значительными трудностями. (Например, участок кривой, в пределах которого производится осреднение, должен быть достаточно длинным, и необходимо выяснять, какое именно значение длины обеспечит достаточную точность.)

Изложенный способ возможен не только для описания возбуждения, но и для описания процесса вынужденных колебаний. Поведение системы при возбуждении определяется (как и следует ожидать) ее частотами и собственными формами колебаний, а также интенсивностью демпфирования. Чем меньше трение, тем выше уровень колебаний системы; при этом система отбирает и усиливает те составляющие спектра возбуждения, частоты которых близки к собственной частоте системы. Колебательный процесс имеет вид, изображенный на рис. 30, б. Колебательная система "отфильтровывает" значительную часть составляющих возмущающего процесса и реагирует на частоты возбуждения, близкие к ее собственным частотам. Это обстоятельство отражено в характере спектральной плотности вынужденных колебаний. Вблизи значений частоты, близких к собственным частотам системы, спектральная плотность вынужденных колебаний имеет резкие максимумы.

До сих пор мы не только избегали некоторых вопросов теории, но и пошли на одно серьезное переупрощение; дело в том, что кривые рис. 28, описывающие возбуждение, никогда в точности не повторяются. Это вполне понятно в случае эксперимента с измерением давления, поскольку неограниченно долгий контроль течения жидкости невозможен. Что же касается поверхности дороги, то никакие два участка не могут быть абсолютно одинаковыми. Именно по этой причине инженеры используют статистические методы и исследуют вероятностные характеристики колебательного процесса. Простые рассуждения, которыми мы до сих пор пользовались, справедливы лишь в том случае, когда участок записи процесса является вполне "представительным" или, в терминах теории вероятностей, когда процесс "эргодичен".

Теперь мы должны представить себе уже не одну "реализацию" возбуждения (рис. 28, а или б), а бесконечное семейство ("ансамбль") всех возможных кривых. Изображенная на рис. 28, а кривая давления при постоянном режиме работы может представлять элемент ансамбля, типа изображенного на рис. 31, а; все нерегулярности величины давления носят более пли менее постоянный или, как говорят, "стационарный" характер. С другой стороны, возбуждение с изменяющимися статистическими характеристиками называется "нестационарным" (или, еще лучше, эволюционирующим). Типичный ансамбль реализаций нестационарного процесса изображен на рис. 31, б. Мы могли бы, например, получить запись нестационарного процесса, если бы проводили эксперимент по измерению пульсаций давления при переменном режиме работы теплообменника (например, при его пуске). При действии стационарного возбуждения возникают стационарные колебания, а при действии нестационарного возбуждения - нестационарные колебания. Колебательный процесс может быть эргодическим лишь в случае стационарного возбуждения.

Отметим два различных способа осреднения при определении "средних значений" и "средних квадратов". Первый способ - это осреднение по одной реализации (о нем мы говорили выше); второй способ - это осреднение "по ансамблю". Это значит, что можно определить спектральную плотность, скажем, в 10.30 утра в следующий четверг, произведя осреднение по всем возможным результатам измерений, проведенных в этот момент. Инженера обычно интересуют результаты именно второго способа осреднения, тогда как на практике осреднение чаще всего осуществляется по первому способу.

Без сомнения, читатель уже почувствовал, что мы подошли к большой и сложной в математическом отношении проблеме. Следует добавить, что случайный характер колебаний вносит дополнительные трудности в исследование вопросов, рассмотренных в §1.4 и 1.5. Так, например, до настоящего времени не вполне ясны законы, определяющие разрушение металлов в условиях случайного нагружения.

Бесспорно, что в будущем случайные колебания подвергнутся весьма серьезному изучению. Такие колебания доставляют неприятности, например, в случае, когда дрожание стрелки не позволяет точно определить показания приборов, определяющих химический состав, или когда при проигрывании старой граммофонной пластинки слышно шипение (случайные флуктуации давления).

Практическая проблема случайных колебаний возникает в связи с эксплуатацией вольфрамовых нитей электрических лампочек накаливания. Эти тонкие нити работают в тяжелых условиях (частые включения и выключения, высокие значения силы тока, необходимые для создания достаточной освещенности). Неудивительно поэтому, что долговечность таких нитей может резко уменьшиться, если лампы эксплуатируются в условиях вибраций, например, вблизи судовых двигателей, на автомобиле, велосипеде или самолете. Поэтому проектирование нитей ламп накаливания связано со значительной исследовательской работой и в ряде случаев требует про" ведения эксплуатационных испытаний.

К сожалению, случайные колебания представляют и потенциальную опасность. Рассмотрим, например, шум реактивного двигателя. Основная часть спектра этого шума лежит в диапазоне частот 100-1000 Гц и где-то в этих пределах располагается плохо выраженный максимум. На фото XIX изображены усталостные трещины на нижней поверхности обшивки руля высоты самолета. Под фюзеляжем самолета был закреплен подвесной ракетный двигатель, который иногда запускался во время летных испытаний. Реактивная струя двигателя была направлена вниз и назад и находилась на достаточном удалении от рулей высоты, однако, тем не менее, интенсивное акустическое излучение струи привело к возникновению усталостных повреждений. Если бы такие повреждения возникли в конструкции герметической кабины пассажирского самолета, что, разумеется, недопустимо, то последствия могли бы оказаться катастрофическими.

Сильные землетрясения могут вызывать ужасные последствия - разрушения больших зданий и плотин. В настоящее время не представляется возможным в точности предсказывать вид колебательного процесса при землетрясении, и в связи с этим возникает ряд трудностей при проектировании крупных сооружений в сейсмически активных районах. Некоторые из проведенных за последние годы исследований основаны на описании землетрясений при помощи теории нестационарных случайных процессов.

В том, насколько сложна-проблема случайных вибраций, можно лишний раз убедиться, если вспомнить, что любая небольшая деталь электрооборудования самолета или ракеты склонна к усталости. Эта проблема - одна из наиболее сложных проблем, стоящих перед инженером, занимающимся созданием машин.

§ 3.8. СУДА

Кратко рассмотрим теперь движение одного конкретного объекта, а именно судна при волнении. Вероятно, это поможет нам понять суть инженерно-исследовательской работы: хотя речь пойдет о весьма узкой области техники, однако здесь есть все то, что делает исследовательскую работу столь привлекательной.

Известно, что в 1971 г. затонуло не менее 129 торговых судов вместимостью свыше 100 регистровых тонн, причем эта цифра ни в коей мере не является необычной. Когда судно тонет, это означает обычно, что оно но смогло выдержать тех вынужденных случайных колебаний, которые были вызваны морским волнением, и в результате произошло либо затопление, либо поломка судна. Рассмотрим каждую из этих двух возможностей в отдельности.

Если неповрежденное судно погибло в результате его затопления, то это свидетельствует о том, что оно достаточно сильно наклонилось либо относительно поперечной оси, т.е. в результате килевой качки, либо относительно продольной оси, т.е. в результате бортовой качки, так что оказался возможным доступ морской воды внутрь судна. В январе 1970 г. британское спасательное судно "Герцогиня Кентская" перевернулось вокруг поперечной оси на глубоководных крутых волнах в Северном море; в результате погибли пять человек. Однако соотношения обычных частот волнения моря и собственных частот судов, как правило, таковы, что бортовая качка более опасна, чем килевая. Бортовая качка оказалась причиной гибели гораздо большего количества судов, нежели килевая.

Механизм бортовой качки сложен не только потому, что эта качка вызывается случайным возбуждением, но и потому, что колебания являются "большими"; они относятся к той категории, которая будет рассмотрена в гл. VI. Однако грубое объяснение этого механизма - очень простое. Предположим, что в некоторый момент времени условия оказались такими, как показано на рис. 32. Судно накренилось в направлении хода часовой стрелки, а поверхность моря наклонена по отношению к горизонтали. Движение судна определяется в основном действием выталкивающей силы и силы тяжести.

Силу тяжести можно считать приложенной в точко G, которая фиксирована на судне и находится в плоскости его симметрии; обычно эта точка расположена вблизи статической ватерлинии. Предположим, что выталкивающую силу можно определять на основании чисто гидростатических соображений (такое допущение вряд ли должно приводить к сколько-нибудь значительным ошибкам). Тогда оказывается, что линия действия этой силы будет проходить через точку В. Очевидно, что море стремится препятствовать "вдавливанию" корпуса судна в воду; другими словами, оно создает направленную вверх силу, приложенную к точке В - центру тяжести объема вытесненной воды. Точка В перемещается относительно судна.

Пока точка Р останется выше точки G (см. рис. 32), судно будет стремиться возвратиться в свое нормальное положение. При этом оно будет иметь ту "жесткость", которая, как мы уже видели, необходима для того, чтобы могли происходить колебания в обычном смысле этого слова. Представляется очевидным, таким образом, что вся задача проектировщика сводится к тому, чтобы обеспечить выполнение единственного требования: добиться, чтобы точка Р всегда была выше точки G.

К сожалению, выполнить это требование не так просто, как может показаться на первый взгляд. Прежде всего, расстояние GP (см. рис. 32) нельзя задавать слишком большим - в противном случае судно будет слишком жестким и бортовая качка будет происходить с неприятными высокими частотами; жизнь людей на таком судне будет невыносимой. Поэтому следует признать несчастливым тот факт, что при эксплуатации судна точка G может смещаться относительно номинально заданного положения как раз в нежелательном направлении. Она может смещаться вверх вследствие обледенения надводной части судна (например, у траулера, работающего в полярных широтах). Она может до некоторой степени перемещаться и поперек судна, если на нем имеется жидкий груз со свободной поверхностью (топливо, свежая вода или даже сухое зерно в емкостях). Весьма серьезным фактором является возможность затопления большой палубы, которая обязательно должна быть сделана открытой, скажем, как у автомобильного парома; в результате такого затопления точка G вполне может переместиться на лилию действия выталкивающей силы, и тогда жесткость судна при бортовой качке окажется равной пулю.

Вряд ли необходимо говорить о том, насколько сложна во всей сьоей общности проблема предотвращения чрезмерной качки. Разумеется, это проблема, в которой возбуждение носит случайный характер, и хотя существует мировой атлас статистических характеристик морского волнения в различные времена года, однако не следует особенно рассчитывать на сколько-нибудь точное описание вероятностных характеристик волнения. А ведь это всего лишь одна из тех проблем, которые стоят перед инженером-кораблестроителем. В конце концов, что следует считать "чрезмерным"? Следует ли заботиться только о том, чтобы исключить возможность доступа морской воды? (Во время тайфуна в 1944 г. миноносец ВМС США "Гулль" затонул из-за того, что у него оказались затопленными дымовые трубы.) Или же главным фактором является заливаемоеть верхних палуб? Или комфорт пассажиров? Неудивительно, что в своих решениях инженеры-кораблестроители должны опираться на большой опыт.

Рассмотрим теперь другой вид аварии, когда происходит поломка судна в бурном море (как это произошло с судном, показанным на фото III). Прежде всего отметим, что до сих пор мы рассматривали движение судна в условиях морского волнения как "качку" в том смысле, о котором говорилось выше в § 1.6. На самом же деле, разумеется, этому движению всегда сопутствуют также некоторые упругие деформации, которые можно рассматривать, опираясь на представления о собственных формах колебаний. Приступая к обсуждению этой возможности, сразу отметим, что высказанные ниже соображения являются в значительной мере предположительными.

С точки зрения прочности наибольший интерес представляют симметричные формы колебаний, и мы уже сейчас можем указать одну возможную трудность: вероятно, двум низшим собственным формам колебаний соответствуют почти одинаковые частоты.

Предположим, что мы можем определить собственные формы колебаний судна и установить условия ортогональности этих форм. Волнение приводит к возбуждению колебаний по собственным формам, причем, как и в рассмотренном в предыдущем параграфе примере с автомобилем, возбуждение представляет собой случайный процесс. Упомянутая выше бортовая качка (см. рис. 32) связана с сильным возбуждением колебаний по кососимметричной форме (вернее, по приближенной антисимметричной форме, не учитывающей упругих деформаций).

С точки зрения проблемы прочности, которой мы теперь занялись, наиболее важными, по-видимому, являются симметричные формы, поэтому мы сосредоточили вниманий именно на них. Дело в том, что случайное морское волнение возбуждает колебания по некоторым таким формам и соответствующие большие упругие деформации сопровождаются возникновением высоких напряжений (последние накладываются на те напряжения, которые существуют в условиях спокойного моря с плоской поверхностыо).

Если подобный путь анализа напряжений, возникающих в корпусе судна при волнении, является правильным, то целесообразно рассмотреть те факторы, которые определяют интенсивности колебаний по различным собственным формам. Можно ожидать, что интенсивность колебаний, возбуждаемых на данной симметричной собственной форме, зависит главным образом от следующих факторов:

1) от соотношения между длиной судна и преобладающей длиной волны на поверхности моря;

2) от соотношения между частотой наиболее интенсивных волн и частотой данной собственной формы колебаний;

3) от демпфирования колебаний по данной собственной форме, как конструкционного, так и гидродинамического.

Напряжения в корпусе судна являются случайными (функциями времени и при колебаниях они могут возрастать. Отметим, что различным собственным формам колебаний соответствуют различные зоны высоких напряжений. Вообще создается такое впечатление, что Природа решительно задалась целью: помешать нам оценивать те напряжения, которые возникают в корпусе судна в результате волнения моря. К сожалению, Природа проявила при этом особую суровость, придав морской воде свойства коррозионной среды: имеются данные о том, что действие циклических напряжений в условиях коррозионной среды может быть особенно опасным.

Вопрос о напряжениях в элементах конструкции судов понят далеко не так полно, как хотелось бы. Выше был кратко описан возможный путь анализа этой проблемы. Является ли такой путь разумным или нет? Если нет, то почему? Если да, то можно ли сделать его полезным для практики? Дело в том, что современные методы расчетов мало похожи на анализ колебаний, разложенных по собственным формам, причем эти методы слишком сильно опираются на опыт, чтобы их можно было считать вполне удовлетворительными. Техника постоянно бросает нам подобные вызовы, и нетрудно видеть, что этот конкретный вызов надо принять, потому что поломка супертанкера с полным грузом вблизи берега - это такая катастрофа, от которой захватывает дух.